Энергия электрического поля. (Примеры решения задач)

Одно из самых интересных и полезных открытий в механике —это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q 1 и q 2 , разделенные промежутком r 12 . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если q ¡ и q j — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними r ij (фиг. 8.1), то энергия именно этой пары равна

Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:

Если распределение задается плотностью заряда ρ, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая — применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая — разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от r до r + dr . Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q r — это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ , равна

Если плотность заряда внутри шара есть ρ, то заряд Q r равен

а заряд dQ равен

Пример 2.

Определите электрическую энергию взаимодействия заряженного кольца с диполем, расположенным на его оси, как показано на рис.4. Известны расстояния a , l , заряды Q , q и радиус кольца R .

Решение .

При решении задачи следует учесть все энергии парных взаимодействий зарядов одного тела (кольца) с зарядами другого тела (диполя). Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядом Q , распределенным по кольцу, определяется суммой

,

где - заряд бесконечно малого фрагмента кольца, - расстояние от этого фрагмента до заряда q . Поскольку все одинаковы и равны , то

Аналогично найдем энергию взаимодействия точечного заряда –q с заряженным кольцом:

Суммируя W 1 и W 2 , получим для энергии взаимодействия кольца с диполем:

.

Электрическая энергия заряженных проводников

Пример 3.

Определите работу электрических сил при уменьшении в 2 раза радиуса однородно заряженной сферы. Заряд сферы q , ее первоначальный радиус R .

Решение .

Электрическая энергия уединенного проводника определяется формулой , где q – заряд проводника, j - его потенциал. Учитывая, что потенциал однородно заряженной сферы радиуса R равен , найдем ее электрическую энергию:

После уменьшения в два раза радиуса сферы ее энергия становится равной

Электрические силы при этом совершают работу

.

Пример 4.

Два металлических шара, радиусы которых r и 2r , а соответствующие заряды 2q и –q , расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Во сколько раз уменьшится электрическая энергия системы, если шары соединить тонкой проволокой?

Решение .

После соединения шаров тонкой проволокой их потенциалы становятся одинаковыми

,

а установившиеся заряды шаров Q 1 и Q 2 получаются в результате перетекания заряда с одного шара на другой. При этом суммарный заряд шаров остается постоянным:

.

Из этих уравнений найдем

Энергия шаров до соединения их проволокой равна

,

а после соединения

.

Подставляя в последнее выражение значения Q 1 и Q 2 , получим после простых преобразований

.

Пример 5.

В один шар слились N = 8 одинаковых шариков ртути, заряд каждого из которых q . Считая, что в начальном состоянии ртутные шарики находились на большом расстоянии друг от друга, определите, во сколько раз увеличилась электрическая энергия системы.

Решение .

При слиянии ртутных шариков сохраняется их суммарный заряд и объем:

где Q – заряд шара, R – его радиус, r – радиус каждого маленького ртутного шарика. Суммарная электрическая энергия N уединенных шариков равна

Электрическая энергия полученного в результате слияния шара

После алгебраических преобразований получим

= 4.

Пример 6.

Металлический шарик радиуса R = 1 мм и заряда q = 0,1 нКлс большого расстояния медленно приближают к незаряженному проводнику и останавливают, когда потенциал шарика становится равным j = 450 В. Какую работу для этого следует совершить?

Решение .

,

где q 1 и q 2 – заряды проводников, j 1 и j 2 – их потенциалы. Так как проводник по условию задачи не заряжен, то

где q 1 и j 1 заряд и потенциал шара. Когда шар и незаряженный проводник находятся на большом расстоянии друг от друга,

и электрическая энергия системы

В конечном состоянии системы, когда потенциал шара стал равным j, электрическая энергия системы:

Работа внешних сил равна приращению электрической энергии:

= –0,0225 мкДж.

Заметим, что электрическое поле в конечном состоянии системы создается зарядами, индуцированными на проводнике, а также зарядами, неоднородно распределенными по поверхности металлического шара. Рассчитать это поле при известной геометрии проводника и заданном положении металлического шара весьма непросто. Нам не потребовалось этого делать, поскольку в задаче задана не геометрическая конфигурация системы, а потенциал шара в конечном состоянии.

Пример 7.

Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R 1 и R 2 ( и соответствующими зарядами q 1 и q 2 . Найдите электрическую энергию W системы. Рассмотрите также специальный случай, когда .

Решение .

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

.

Для решения задачи необходимо найти потенциалы внутренней (j 1) и внешней (j 2) сфер. Это нетрудно сделать (см. соответствующий раздел пособия):

, .

Подставляя эти выражения в формулу для энергии, получим

.

При энергия равна

.

Собственная электрическая энергия и энергия взаимодействия

Пример 8.

Две проводящие сферы, заряды которых q и –q , радиусы R 1 и R 2 , расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Сфера большего радиуса R 2 состоит из двух полусфер. Полусферы разъединяют, подносят их к сфере радиуса R 1 , и вновь соединяют, образуя таким образом сферический конденсатор. Определите работу электрических сил при таком составлении конденсатора.

Решение .

Электрическая энергия двух удаленных друг от друга заряженных сфер равна

.

Электрическая энергия полученного сферического конденсатора:

,

Потенциал внутренней сферы, - потенциал внешней сферы. Следовательно,

Работа электрических сил при таком составлении конденсатора:

Заметим, что электрическая энергия сферического конденсатора W 2 равна работе внешних сил по зарядке конденсатора. При этом электрические силы совершают работу . Эта работа совершается не только при сближении заряженных обкладок, но и при нанесении заряда на каждую из обкладок. Поэтому A ЭЛ отличается от найденной выше работы A , совершенной электрическими силами только при сближения обкладок.

Пример 9.

Точечный заряд q = 1,5 мкКл расположен в центре сферической оболочки, по поверхности которой однородно распределен заряд Q = 5 мкКл. Найдите работу электрических сил при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от R 1 = 50 мм до R 2 = 100 мм.

Решение .

Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядами, расположенными на сферической оболочке радиуса R равна

,

Собственная электрическая энергия оболочки (энергия взаимодействия зарядов оболочки между собой) равна:

Работа электрических сил при расширении оболочки:

.

После преобразований получим

1,8 Дж.

Другой способ решения

Точечный заряд представим в виде однородно заряженной сферы малого радиуса r и заряда q . Полная электрическая энергия системы равна

,

Потенциал сферы радиуса r ,

Потенциал сферы радиуса R . При расширении внешней сферы электрические силы совершают работу

.

После подстановок и преобразований получим ответ.

Пример 10.

Какая часть электрической энергии заряженного проводящего шара, расположенного в вакууме, заключена в пределах концентрической с шаром воображаемой сферы, радиус которой в n раз больше радиуса шара?

Решение .

Объемная плотность энергии электрического поля

определяет электрическую энергию , локализованную в бесконечно малом объеме (E – модуль вектора напряженности электрического поля в этом объеме, e - диэлектрическая проницаемость). Чтобы вычислить полную электрическую энергию заряженного проводящего шара, мысленно разобьем все пространство на бесконечно тонкие шаровые слои, концентрические с заряженным шаром. Рассмотрим один из таких слоев радиуса r и толщины dr (см. рис.5). Его объем равен

а сосредоточенная в слое электрическая энергия

.

Напряженность E поля заряженного проводящего шара зависит, как известно, от расстояния r до центра шара. Внутри шара , поэтому при вычислении энергии достаточно рассматривать только те шаровые слои, радиус r которых превышает радиус шара R .

При напряженность поля

диэлектрическая проницаемость и, следовательно

,

где q – заряд шара.

Полная электрическая энергия заряженного шара, определяется интегралом

,

а энергия, сосредоточенная внутри воображаемой сферы радиуса nR , равна

.

Следовательно,

Рис.5	Рис.6	Рис.7

Пример 11.

Определите электрическую энергию системы, состоящей из заряженного проводящего шара и концентрического с ним незаряженного проводящего шарового слоя (рис.6). Внутренний и внешний радиусы слоя a и b , радиус шара , заряд q , система находится в вакууме.

Одно из самых интересных и полезных открытий в механике - это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды и , разделенные промежутком . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если и - какие-то два из зарядов, а расстояние между ними (фиг. 8.1), то энергия именно этой пары равна

Фигура 8.1. Электростатическая энергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары

Полная электростатическая энергия есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:

(8.3)

Если распределение задается плотностью заряда , то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая - применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая - разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от до . Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса (фиг. 8.2). Если - это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса , то работа, требуемая для доставки на шар заряда , равна

Фигура 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть , то заряд равен

а заряд равен по всем парам точек внутри шара равно .

Электрический заряд – это физическая величина , характеризующая способность частиц или тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q . В системе СИ электрический заряд измеряется в Кулонах (Кл). Свободный заряд в 1 Кл – это гигантская величина заряда, практически не встречающаяся в природе. Как правило, Вам придется иметь дело с микрокулонами (1 мкКл = 10 –6 Кл), нанокулонами (1 нКл = 10 –9 Кл) и пикокулонами (1 пКл = 10 –12 Кл). Электрический заряд обладает следующими свойствами:

Этот фактор называется электрическим точечным потенциалом . То есть: при электромагнетизме электрический потенциал или электростатический потенциал являются полем, эквивалентным потенциальной энергии , связанной со статическим электрическим полем, деленным на электрический заряд испытуемой частицы. Как хороший потенциал, только физические различия потенциалов имеют физическое значение. Электростатик является частью исследования электричества, которое изучает электрические заряды без движения, то есть в состоянии покоя.

Электростатическая и электродинамика

Электростатическое экранирование делает электрическое поле нулевым. Это связано с распределением избыточных электрических зарядов в проводнике. Нагрузки одного и того же сигнала имеют тенденцию уходить, пока они не достигнут покоя. В то время как электростатика изучает электрические заряды без движения, электродинамика изучает заряды в движении.

1. Электрический заряд является видом материи.

2. Электрический заряд не зависит от движения частицы и от ее скорости.

3. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

Таким образом, электростатика и электродинамика - это области изучения физики, которые посвящены различным аспектам электричества. В дополнение к этим областям также существует электромагнетизм, который изучает способность электричества привлекать и подавлять полюса.

После равновесия сфера А приводится в контакт с другой идентичной сферой С, которая имеет электрический заряд 3е. Какова будет плотность электрического заряда этого региона? Гидрофобный характер полиуретана связан с силой электростатического отталкивания между молекулами материала и молекулами воды, физическим явлением , которое происходит между телами с электрическими зарядами одного и того же сигнала. Правильно сказать, что сила электростатического отталкивания.

4. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными .

5. Все заряды взаимодействуют друг с другом. При этом одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Силы взаимодействия зарядов являются центральными, то есть лежат на прямой, соединяющей центры зарядов.

Это повод вернуться к приведенным выше примерам и спросить себя, почему весна прекращается достаточно быстро, чтобы колебаться, как и качели, если не поддерживать движение. Это потому, что есть трения, и они генерируют тепло, даже если мы этого не осознаем. Энергия очень постоянна, но часть рассеивается в виде тепла.

Материал, резервуар электрической и ядерной энергии

Однако, в отличие от массы, заряд может быть как положительным, так и отрицательным: сила тогда привлекательна, если заряды имеют противоположные знаки, но отталкивающие, если они имеют один и тот же знак. В электрической ячейке или другом генераторе электрические заряды с положительным знаком распределены на положительном полюсе, а электрические заряды с отрицательным знаком распределены на противоположном полюсе.

6. Существует минимально возможный (по модулю) электрический заряд, называемый элементарным зарядом . Его значение:

e = 1,602177·10 –19 Кл ≈ 1,6·10 –19 Кл.

Электрический заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду:

где: N – целое число. Обратите внимание, невозможно существование заряда, равного 0,5е ; 1,7е ; 22,7е и так далее. Физические величины, которые могут принимать только дискретный (не непрерывный) ряд значений, называются квантованными . Элементарный заряд e является квантом (наименьшей порцией) электрического заряда.

В дополнение к своим проявлениям в электричестве это «кулоновское» взаимодействие отвечает за стабильность материи. Ядра положительного электрического заряда притягивают отрицательные электроны , что заставляет их образовывать атомы, которые сами притягивают друг друга. Более того, когда происходит химическая реакция, результатом является реорганизация ядер и электронов и модификация кулоновской энергии. Это называется химической энергией. Топливо, такое как уголь, бензин или водород, является резервуаром химической энергии , но эта энергия - не что иное, как кулоновская энергия.

В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака. Из закона сохранения заряда так же следует, если два тела одного размера и формы, обладающие зарядами q 1 и q 2 (совершенно не важно какого знака заряды), привести в соприкосновение, а затем обратно развести, то заряд каждого из тел станет равным:

Эластичная энергия пружины, о которой мы говорили выше, также является следствием кулоновского взаимодействия. В ядерных ядрах имеются также ядерные взаимодействия, которые очень близки к ближнему и, следовательно, важны только внутри этих ядер. Они связывают нуклоны, т.е. протоны и нейтроны. Таким образом, можно выделять огромную энергию, комбинируя световые ядра. Огромную энергию также получают путем расщепления тяжелых ядер, таких как уран, который производится в бомбе А или в ядерном реакторе путем ядерного деления.

электрического поля

w = 1 2 ε 0 E2 + 1 2 E P. (11)

В формуле (11) первое слагаемое выражает плотность энергии электрического поля в вакууме, а второе слагаемое выражает энергию, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика.

В общем случае неоднородного электрического поля его энергию в некотором объеме V можно вычислить по формуле

4. Пондеромоторные силы. Применение закона сохранения энергии к расчету пондеромоторных сил.

На всякое заряженное тело, помещенное в электрическое поле, действуют механическая сила . Пондеромоторными называются силы, действующие со стороны электрического поля на макроскопические заряженные тела .

Определим силу взаимного притяжения между разноименно заряженными пластинами плоского конденсатора (пондеромоторную силу) двумя способами.

С одной стороны эту силу можно определить как силу F 2 , действующую на вторую пластину со стороны первой

F 2= Q 2E 1, (14)

где Q 2 – величина заряда на второй пластине,E 1 – напряженность поля первой пластины. Величина зарядаQ 2 второй пластины определяется формулой

Q 2 = σ 2 S , (15)

где σ 2 – поверхностная плотность заряда на второй пластине, а напряженностьЕ 1 поля, создаваемого первой пластиной вычисляется формулой

E 1 = σ 1 , (16)

где σ 1 – поверхностная плотность заряда на первой пластине. Подставим формулы (16) и (15) в формулу (14)

Учитывая, что σ = D = ε 0 ε E , получим формулу для силы, действующей на одну пластину со стороны другой

Для силы, действующей на единицу площади пластины, формула будет иметь следующий вид

F = ε 0 ε E 2 . (18)

Теперь получим формулу для пондеромоторной силы, используя закон сохранения энергии. Если тело перемещается в электрическом поле, то пондеромоторными силами

поля будет совершаться работа А. По закону сохранения энергии эта работа будет совершаться за счет энергии поля, то есть

A + W = 0 илиA = W . (19)

Работа по изменению расстояния между пластинами заряженного конденсатора на величину dx определяется формулой

где F – сила взаимодействия между обкладками (пондеромоторная сила).

Энергия заряженного конденсатора определяется формулой (9). При смещении одной из обкладок на расстояние dx энергии конденсатора изменится на величинуW

Как видим, формулы (18) и (22) одинаковые. Вместе с тем использование закона сохранения энергии для расчета пондеромоторных сил намного упрощает расчеты.

Вопросы для самопроверки:

1. Вывести формулу для энергии уединенного заряженного проводника и системы проводников.

2. Что является носителем электрической энергии? Что понимают под объемной

взаимодействия обкладок заряженного конденсатора?