Московский государственный университет печати. Теорема об изменении кинетической энергии Вывод теоремы о кинетической энергии

работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.

Если начальная скорость движения тела массой m равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ , то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:

A =Ek 2−Ek 1=m ⋅υ 22−0=m ⋅υ 22 .

42) Потенциальные поля

Потенциальное поле

консервативное поле, векторное поле, циркуляция которого вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Если П. п. - силовое поле, то это означает равенство нулю работы сил поля вдоль замкнутой траектории. Для П. п. а (М ) существует такая однозначная функция u (М )(Потенциал поля), что а = gradu (см. Градиент). Если П. п. задано в односвязной области Ω, то потенциал этого поля может быть найден по формуле

в которой AM - любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из Ω с точкой М, t - единичный вектор касательной кривой AM и / - длина дуги AM, отсчитываемая от точки А. Если а (М ) - П. п., то rot a = 0 (см. Вихрь векторного поля). Обратно, если rot а = 0 и поле задано в односвязной области и дифференцируемо, то а (М ) - П. п. Потенциальными являются, например, электростатическое поле, поле тяготения, поле скоростей при безвихревом движении.

43) Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия - это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжианесистемы, и описывающая взаимодействие элементов системы. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называетсянормировкой потенциальной энергии .

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где E p - потенциальная энергия тела, m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

44) Связь силы и потенциальной энергии

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

45) Закон сохранения механической энергии

Работа равнодействующей всех сил , приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Эта теорема верна не только для поступательного движения твердого тела, но и в случае его произвольного движения.

Кинетической энергией обладают только движущиеся тела, поэтому ее называют энергией движения.

§ 8. Консервативные (потенциальные) силы.

Поле консервативных сил

Опр.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалось тело, а определяется только начальным и конечным положениями тела, называются консервативными (потенциальными) силами.

Опр.

Поле сил – область пространства, в каждой точке которого на тело, помещенное туда, действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке пространства.

Опр.

Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным.

Можно доказать следующие 3 утверждения

1) Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна 0.

Доказательство:

2) Однородное поле сил консервативно.

Опр.

Поле называется однородным, если во всех точках поля силы, действующие на тело помещенное туда, одинаковы по модулю и направлению.

Доказательство:

3) Поле центральных сил, в котором величина силы зависит только от расстояния до центра, консервативно.

Опр.

Поле центральных сил – силовое поле, в каждой точке которого на точечное тело, движущееся в нем, действует сила, направленная вдоль линии, проходящей через одну и ту же неподвижную точку – центр поля.

В общем случае такое поле центральных сил не является консервативным. Если же в поле центральных сил величина силы зависит только от расстояния до центра силового поля (О), т.е. , то такое поле является консервативным (потенциальным).

Доказательство:

где - первообразная .

§ 9. Потенциальная энергия.

Связь силы и потенциальной энергии

в поле консервативных сил

Полем консервативных сил выберем начало координат, т.О.

Потенциальная энергия тела в поле консервативных сил. Эта функция определяется однозначно (зависит только от координат), т.к. работа консервативных сил не зависит от вида пути.

Найдем связь в поле консервативных сил при перемещении тела из точки 1 в точку 2.

Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

Потенциальная энергия тела поля консервативных сил есть энергия, обусловленная наличием силового поля, возникающего в результате определенного взаимодействия данного тела с внешним телом (телами), которое, как говорят, и создает силовое поле.

Потенциальная энергия поля консервативных сил характеризует способность тела совершить работу и численно равна работе консервативных сил по перемещению тела в начало координат (или в точку с нулевой энергией). Она зависит от выбора нулевого уровня и может быть отрицательной. В любом случае , а значит и для элементарной работы справедливо , т.е. или , где - проекция силы на направление движения или элементарное перемещение. Следовательно, . Т.к. мы можем перемещать тело в любом направлении, то для любого направления справедливо . Проекция консервативной силы на произвольное направление равна производной потенциальной энергии по этому направлению с обратным знаком.

Учитывая разложение векторов и по базису , , получим, что

С другой стороны из математического анализа известно, что полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных по аргументам на дифференциалы аргументов, т.е. , а значит, из соотношения получим

Для более компактной записи данных соотношений можно использовать понятие градиента функции.

Опр.

Градиентом некоторой скалярной функции координат называется вектор с координатами, равными соответствующим частным производным этой функции.

В нашем случае

Опр.

Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек в поле консервативных сил, значения потенциальной энергии в которых одинаковы, т.е. .

Т.к. из определения эквипотенциальной поверхности следует, что для точек этой поверхности, то , как производная константы, следовательно .

Таким образом, консервативная сила всегда перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена в строну убыли потенциальной энергии. (П 1 >П 2 >П 3).

§ 10. Потенциальная энергия взаимодействия.

Консервативные механические системы

Рассмотрим систему их двух взаимодействующих частиц. Пусть силы их взаимодействия центральные и величина силы зависит от расстояния между частицами (такими силами являются гравитационные и электрические кулоновские силы). Понятно, что силы взаимодействия двух частиц – внутренние.

Учитывая третий закон Ньютона (), получим , т.е. работа внутренних сил взаимодействия двух частиц определяется изменением расстояния между ними.

Такая же работа была бы совершена, если бы первая частица покоилась в начале координат, а вторая – получила перемещение , равное приращению ее радиус-вектора, т.е работу, совершаемую внутренними силами можно вычислять, считая одну частицу неподвижной, а вторую – движущейся в поле центральных сил, величина которых однозначно определяется расстоянием между частицами. В §8 мы доказали, что поле таких сил (т.е. поле центральных сил, в котором величина силы зависит только от расстояния до центра) консервативно, а значит, их работу можно рассматривать как убыль потенциальной энергии (определяемой, согласно §9, для поля консервативных сил).

В рассматриваемом случае эта энергия обусловлена взаимодействием двух частиц, составляющих замкнутую систему. Ее именуют потенциальной энергией взаимодействия (или взаимной потенциальной энергией). Она также зависит от выбора нулевого уровня и может быть отрицательной.

Опр.

Механическая система твердых тел, внутренние силы между которыми консервативны, называется консервативной механической системой.

Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия консервативной системы из N частиц слагается из потенциальных энергий взаимодействия частиц, взятых попарно, что можно представить.

Где - потенциальная энергия взаимодействия двух частиц i-ой и j-ой. Индексы i и j в сумме принимают независимые друг от друга значения 1,2,3, … , N. Учитывая, что одна и та же потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц друг с другом, то при суммировании энергия будет умножаться на 2, вследствие чего появляется коэффициент перед суммой. В общем случае потенциальная энергия взаимодействия системы из N частиц будет зависеть от положения или координат всех частиц . Нетрудно видеть, что потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил есть разновидность потенциальной энергии взаимодействия системы частиц, т.к. силовое поле есть результат некоторого взаимодействия тел друг с другом.

§ 11. Закон сохранения энергии в механике.

Пусть твердое тело движется поступательно под действием консервативных и неконсервативных сил, т.е. общий случай. Тогда равнодействующая всех сил, действующих на тело . Работа равнодействующей всех сил в этом случае .

По теореме о кинетической энергии , а также учитывая, что , получим

Полная механическая энергия тела

Если , то . Это и есть математическая запись закона сохранения энергии в механике для отдельного тела.

Формулировка закона сохранения энергии:

Полная механическая энергия тела не изменяется в отсутствии работы неконсервативных сил.

Для механической системы из N частиц нетрудно показать, что (*) имеет место.

При этом

Первая сумма здесь – суммарная кинетическая энергия системы частиц.

Вторая – суммарная потенциальная энергия частиц во внешнем поле консервативных сил

Третья – потенциальная энергия взаимодействия частиц системы друг с другом.

Вторая и третья суммы представляют собой полную потенциальную энергию системы.

Работа неконсервативных сил состоит из двух слагаемых, представляемых собой работу внутренних и внешних неконсервативных сил .

Также как и в случае движения отдельного тела, для механической системы из N тел, если , то , и закон сохранения энергии в общем случае для механической системы гласит:

Полная механическая энергия системы частиц, находящихся только под действием консервативных сил, сохраняется.

Таким образом, при наличии неконсервативных сил полная механическая энергия не сохраняется.

Неконсервативными силами являются, например, сила трения , сила сопротивления и другие силы, действия которых вызывают дессинацию энергии (переход механической энергии в теплоту).

Силы, приводящие к дессинации называются дессинативными. Некоторые силы не обязательно являются дессинативными.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер и применим не только к механическим явлениям, но и ко всем процессам в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным. Энергия лишь может переходить из одной формы в другую.

С учетом этого равенства

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Установите с помощью движков регуляторов значения массы тела m , угла наклона плоскости a , внешней силы F вн , коэффициента трения m и ускорения а , указанных в табл.1 для вашей бригады.

Одновременно включите секундомер и нажмите кнопку "Старт". Выключите секундомер в момент остановки тела в конце наклонной плоскости.

Проделайте этот опыт 10 раз и результаты измерения времени соскальзывания тела с наклонной плоскости запишите в табл. 2.

ТАБЛИЦА 1. Исходные параметры опыта

№ бриг.
m , кг
m	0,10
a , град
F вн, Н
а, м/с 2

ТАБЛИЦА 2. Результаты измерений и расчётов

W п = - потенциальную энергию тела в верхней точке наклонной плоскости;

Д) - работу силы трения на участке спуска;

Е) - работу внешней силы на участке спуска

и запишите эти значения в соответствующие строки табл. 2. Вычислите средние значения этих параметров и запишите их в столбец «средние значения» табл.2.

Используя формулу (7) проверьте выполнение закона сохранения механической энергии при движении тела по наклонной плоскости. Рассчитайте погрешности и сделайте выводы по результатам проведённых опытов.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.В чём заключается закон сохранения механической энергии?

2.Для каких систем выполняется закон сохранения механической энергии?

3.В чём состоит различие между понятиями энергии и работы?

4.Чем обусловлено изменение потенциальной энергии?

5.Чем обусловлено изменение кинетической энергии?

6.Необходимо ли выполнение условия замкнутости механической системы тел для выполнения закона сохранения механической энергии?

7.Какие силы называются консервативными?

8.Какие силы называются диссипативными?

9.Тело медленно втаскивают в гору. Зависят ли от формы профиля горы: а) работа силы тяжести; б) работа силы трения? Начальная и конечная точки перемещения тела фиксированы.

10.Тело соскальзывает с вершины наклонной плоскости без начальной скорости. Зависит ли работа силы трения на всём пути движения тела до остановки на горизонтальном участке: а) от угла наклона плоскости; б) от коэффициента трения?

11.По наклонной плоскости с одной и той же высоты соскальзывают два тела: одно массой m , другое массой 2 m . Какое из тел пройдёт до остановки по горизонтальному участку путь больший и во сколько раз? Коэффициенты трения для обоих тел одинаковы.

12.Санки массой m скатились с горы высотой Н и остановились на горизонтальном участке. Какую работу необходимо совершить для того, чтобы поднять их на гору по линии скатывания.

13.С одинаковой начальной скоростью тело проходит: а) впадину; б) горку, имеющие одинаковые дуги траекторий и одинаковые коэффициенты трения. Сравните скорости тела в конце пути в обоих случаях.

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл.3, §§12,13.

№ изм.

Среднее значение

Погр.

t , с

v , м/с

S, м

W к , Дж

W п , Дж

A тр, Дж

A вн , Дж

W полн , Дж

Начнем с определения. Работа А силы F при перемещении х тела, к которому она приложена, определяется как скалярное произведение векторов F и х .

А= F·х= Fxcosα. (2.9.1)

Где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Сейчас нам пригодится выражение (1.6 а), которое получено при равноускоренном движении. Но вывод мы сделаем универсальный, который и называется теоремой о кинетической энергии. Итак, перепишем равенство (1.6 а)

a·x =(V 2 –V 0 2)/2.

Умножим обе части равенства на массу частицы, получим

Fx =m(V 2 –V 0 2)/2.

Окончательно

А= m V 2 /2 – m V 0 2 /2. (2.9.1)

Величину Е = m V 2 /2 называют кинетической энергией частицы.

Вы привыкли, что в геометрии теоремы имеют свою устную формулировку. Чтобы не отстать от этой традиции, представим теорему о кинетической энергии в виде текста.

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.

Данная теорема носит универсальный характер, т. е. справедлива для любого вида движения. Однако точное её доказательство связано с применением интегрального исчисления. Поэтому мы его опускаем.

Рассмотрим пример движения тела в поле тяжести. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, соединяющей начальную и конечную точки, а определяется только разностью высот в начальном и конечном положениях:

А=mg(h 1 –h 2). (2.9.2)

Примем какую-нибудь точку поля тяжести за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силой тяжести при перемещении частицы в эту точку из другой произвольной точки Р , находящейся на высоте h . Эта работа равна mgh и называется потенциальной энергией Е п частицы в точке Р :

Е п = mgh (2.9.3)

Теперь преобразуем равенство (2.9.1), механическая теорема о кинетической энергии примет вид

А= m V 2 /2 – m V 0 2 /2= Е п1 – Е п2 . (2.9.4)

m V 2 /2+ Е п2 = m V 0 2 /2+ Е п1 .

В этом равенстве в левой части стоит сумма кинетической и потенциальной энергии в конечной точке траектории, а в правой – в начальной.

Эту сумму называют полной механической энергией. Будем обозначать ее Е .

Е = Е к + Е п.

Мы пришли к закону сохранения полной энергии: в замкнутой системе полная энергия сохраняется.

Однако следует сделать одно замечание. Пока мы рассматривали пример так называемых консервативных сил . Эти силы зависят только от положения в пространстве. А работа, совершаемая такими силами при перемещении тела из одного положения в другое, зависит только от этих двух положений и не зависит от пути. Работа, совершаемая консервативной силой, является механически обратимой, т. е. меняет свой знак при возврате тела в исходное положение. Сила тяжести является консервативной силой. В дальнейшем мы познакомимся с другими видами консервативных сил, например, с силой электростатического взаимодействия.

Но в природе бывают и неконсервативные силы . Например, сила трения скольжения. Чем больше путь частицы, тем большую работу совершает сила трения скольжения, действующая на эту частицу. Кроме того, работа силы трения скольжения всегда отрицательна, т. е. «вернуть» энергию такая сила не может.

Для замкнутых систем полная энергия, конечно, сохраняется. Но для большинства задач механики более важным является частный случай закона сохранения энергии, а именно закон сохранения полной механической энергии. Вот его формулировка.

Если на тело действуют только консервативные силы, то его полная механическая энергия, определяемая как сумма кинетической и потенциальной энергий, сохраняется .

В дальнейшем нам понадобятся ещё два важных равенства. Как всегда, вывод заменим простой демонстрацией частного случая поля тяжести. Но вид этих равенств будет справедлив для любых консервативных сил.

Приведем равенство (2.9.4) к виду

А=F ∆x= Е п1 – Е п2 = –( Е п.кон – Е п.нач)= – ∆U.

Здесь мы рассмотрели работу А при перемещении тела на расстояние ∆x. Величину ∆U, равную разности конечной и начальной потенциальной энергии, называют изменением потенциальной энергии. А полученное равенство заслуживает отдельной строчки и специального номера. Поспешим его присвоить ему:

А= – ∆U (2.9.5)

Отсюда же вытекает математическая связь между силой и потенциальной энергией:

F = – ∆U/∆x (2.9.6)

В общем случае, не связанном с полем тяжести, равенство (2.9.6) представляет собой простейшее дифференциальное уравнение

F= – dU/dx.

Последний пример рассмотрим без доказательства. Гравитационная сила описывается законом всемирного тяготения F(r)=GmM/r 2 и является консервативной. Выражение для потенциальной энергии гравитационного поля имеет вид:

U(r)= –GmM/r.

Автор : – Разберем простой случай. На тело массой m, находящееся на горизонтальной плоскости, действует в течение промежутка времени Т горизонтальная сила F . Трение отсутствует. Чему равна работа силы F ?

Студент : – За время Т тело переместится на расстояние S=аТ 2 /2, где а =F /m. Следовательно, искомая работа есть А =F S=F 2 T 2 /(2m).

Автор : Все правильно, если считать, что тело покоилось до того, как на него начала действовать сила. Несколько усложним задачу. Пусть до начала действия силы тело двигалось прямолинейно и равномерно с некоторой скоростью V 0 , сонаправленной с внешней силой. Чему теперь равна работа за время Т ?

Студент : – Для расчета перемещения возьму более общую формулу S= V 0 T + аТ 2 /2, для работы получаю А =F (V 0 T + аТ 2 /2). Сравнивая с предыдущим результатом, вижу, что одна и та же сила за одинаковые промежутки времени производит разную работу.

Тело массой m скользит вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения скольжения тела о плоскость k . На тело все время действует горизонтальная сила F . Чему равна работа этой силы при перемещении тела на расстояние S?

Студент : – Произведем расстановку сил и найдем их равнодействующую. На тело действует внешняя сила F, а также силы тяжести, реакции опоры и трения.

Студент : – Получается, что работа А= F Scos α и всё. Меня действительно подвела привычка каждый раз искать все силы, тем более что в задаче указана масса и коэффициент трения.

Студент : – Работу силы F я уже вычислил: А 1 = F S cos α. Работа силы тяжести есть А 2 =mgSsin α. Работа силы трения … отрицательна, т. к. векторы силы и перемещения противоположно направлены: А 3 = – kmgScos α. Работа силы реакции N равна нулю, т. к. сила и перемещение перпендикулярны. Правда, я не очень понимаю смысла отрицательной работы?

Автор : – Это означает, что работа данной силы уменьшает кинетическую энергию тела. Кстати. Давайте обсудим движение тела, изображенного на рис.2.9.1, с точки зрения закона сохранения энергии. Для начала найдите суммарную работу всех сил.

Студент : – А = А 1 + А 2 + А 3 = FScos α+ mgSsin α– kmgScos α.

По теореме о кинетической энергии разность кинетических энергий в конечном и начальном состояниях равна совершенной над телом работе:

Е к –Е н =А .

Студент : – Может быть, это были другие уравнения, не относящиеся к данной задаче?

Автор : – Но все уравнения должны давать одинаковый результат. Дело в том, что потенциальная энергия содержится в скрытом виде в выражении для полной работы. Действительно, вспомните А 2 =mgSsin α=mgh, где h – высота спуска тела. Получите, теперь из теоремы о кинетической энергии выражение закона сохранения энергии.

Студент : – Так как mgh=U н – U к, где U н и U к соответственно начальная и конечная потенциальные энергии тела, то имеем:

mV н 2 /2 + U н + А 1 + А 3 = mV к 2 /2+ U к.

Студент : – Это, по-моему, легко. Работа силы трения по модулю как раз и равна количеству теплоты Q . Поэтому Q = kmgScos α.

Студент : mV н 2 /2 + U н + А 1 – Q = mV к 2 /2+ U к.

Автор : – Теперь несколько обобщим определение работы. Дело в том, что соотношение (2.9.1) верно только для случая действия постоянной силы. Хотя есть немало случаев, когда сила сама зависит от перемещения частицы. Приведите пример.

Студент : – Первое, что приходит в голову, это растяжение пружины. По мере перемещения незакрепленного конца пружины сила, все увеличивается. Второй пример связан с маятником, который, как мы знаем, сложнее удержать при больших отклонениях от положения равновесия.

Автор : – Хорошо. Давайте остановимся на примере с пружиной. Сила упругости идеальной пружины описывается законом Гука, в соответствии с которым при сжатии (или растяжении) пружины на величину х возникает сила, противоположно направленная смещению, линейно зависящая от х . Запишем закон Гука в виде равенства:

F = – kx (2.9.2)

Здесь k – коэффициент жесткости пружины, x – величина деформации пружины. Изобразите график зависимости F (x ).

Студент : Мой чертеж представлен на рисунке.

Рис.2.9.2

Левая половина графика соответствует сжатию пружины, а правая – растяжению.

Автор : – Теперь вычислим работу силы F при перемещении от х =0 до х = S. Для этого существует общее правило. Если нам известна общая зависимость силы от смещения, то работа на участке от х 1 до х 2 есть площадь под кривой F(x) на этом отрезке.

Студент : – Значит, работа силы упругости при перемещении тела от х =0 до х =S отрицательна, а модуль её равен площади прямоугольного треугольника: А = kS 2 /2.

А = kх 2 /2. (2.9.3)

Эта работа превращается в потенциальную энергию деформированной пружины.

История.

Резерфорд демонстрировал слушателям распад радия. Экран то светился, то темнел.

– Теперь вы видите, – сказал Резерфорд, – что ничего не видно. А почему ничего не видно, вы сейчас увидите.